Fonction exponentielle népérienne, Fonctions puissances

 

Durée: 2 semaines

0bjectifs généraux: L'élève d’oit être capable de ( d') :

  • se familiariser avec la fonction exponentielle népérienne ainsi qu'avec ses propriétés essentielles;
  • utiliser ces propriétés à la résolution de divers problèmes :
    • calculs de primitives ;
    • résolution d’équations, d’inéquations et de systèmes ;
    • étude de fonctions construites à partir de la fonction exponentielle.

 

Objectifs spécifiques

Contenus

0bservations

L’élève doit être capable de (d’) :

·        étudier la fonction exponentielle népérien (ensemble de définition, limites en  et en, dérivée et sens de variation, directions asymptotiques, tangentes remarquables…)

 

·        utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle népérienne dans des calculs algébriques

 

 

 

 

·        trouver des limites de fonctions où intervient la fonction exponentielle en application des quelques limites classiques

 

 

 

 

 

·        calculer la dérivée d'une fonction du type exp (u(x)) telle que u est une autre fonction.

 

 

·        étudier les courbes représentatives de fonctions du type  (variation et courbe) ; cas particulier des fonctions

 

 

 

 

 

 

 

 

·        reconnaître les primitives de fonctions du type  et calculer ces primitives

 

·        résoudre des équations, inéquations et systèmes se ramenant à

 

 

·        Résoudre des équations ou systèmes à l'aide d'inconnues auxiliaires

 

Logarithme népérien

  • Définition

Notation: exp(x)

  • Étude de la fonction;

 

 

 

 

  • Propriétés algébriques

o       Exponentielle d’une somme

o       Exponentielle d’une différence

o       Exponentielle d’un produit

 

  • Limites de référence

 

 

 

 

Fonctions construites avec la fonction exponentielle népérienne.

  • Fonctions du type

 

 

 

  • Fonction puissances

 

Où a est strictement positif

 

·        application

 

 

 

 

 

Calcul de certaines primitives

 

  • Primitives de fonctions du type

 

 

 

 

Fonction exponentielle et équations / inéquations  / systèmes

  • Équations du type           
  • Inéquations du type
  • Autres types d'équations ou inéquations
  • Systèmes d’équations (utilisation d'inconnues auxiliaires)

 

·        On définira la fonction logarithme népérien, notée ln, comme étant la bijection de la fonction logarithme népérien :

o       Pour tout réel  x>0 et pour tout réel y,

 

·        Il serait important d'étudier en détails, une fois pour toute, la fonction; on n'oubliera pas que cette fonction réalise une bijection de  sur R. on fera remarquer les positions relatives des courbes représentatives des fonctions et (cf. chapitre sur représentation graphique de la réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle).

 

 

 

 

  • Les fonctions  écrit sous la forme exlna seront étudié, en activités, comme étant des fonctions du type   On n’oubliera pas les cas où 0<a<1 et a>1. Comme applications des fonctions puissances, on donnera en activités des exemples liés aux problèmes économiques et problèmes biologiques.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·        On proposera de nombreux exemples et exercices pour faire maîtriser les formules et les techniques de résolution