LIMITES D’UNE FONCTION 

1.  Limite en un point :

Soit  I un intervalle, , f une fonction définie sur I sauf peut être en  et  .

On dit que f admet l comme limite en , ou que tend vers l  quand x tend vers , si, lorsque x prend des valeurs très proches de x0, les nombres deviennent très proches de l  ( ils finissent par appartenir à l'intervalle  , aussi petit que soit le réel positif )

On écrit :  

 

On dit que la limite de f en  est  et on écrit  ou  si lorsqu’on donne à x des valeurs de plus en plus proches de , prend des valeurs indéfiniment grandes. ( f(x) peut être plus grand que n'importe quel nombre M, aussi grand soit-il, pourvu que x soit assez proche de x0 )

 

Exemple :

10-1

10-2

10-10

10-100

10

100

1010

10100

 

Quand x prend des valeurs très proches de 0, f(x) devient indéfiniment grande donc 

On dit que la limite de f en  est  si  et on écrit

 

 

2. Limite à l’infini :

On dit que f a pour limite l en  si lorsqu’on donne à x des valeurs de plus en plus grandes, devient très proche de l .

 

On écrit 

 

Exemple : 

                 

On dit que f est pour limite en si lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, devient indéfiniment grand

On écrit

 

 

On dit que f a pour limite  en  si 

 

3. Fonctions de référence :

·                   

                   

 

·                   

                 

 

·                   

                         

 

                

 

4. Limite à gauche – limite à droite :

Soit une fonction définie sur  ; on dit que l est la limite de f à droite en  si l est la limite de f(x) quand x tend vers par valeurs supérieurs, c'est-à-dire quand x tend vers  et.

On écrit

 

Si f est définie sur, on dit que l est la limite de f à gauche de  si l est la limite de  quand x tend vers par valeurs inférieurs, c'est-à-dire quand x tend vers  et.

On écrit

 

Exemple : 

 

5. Opérations sur les limites

¨        Limite d’une somme :

 

lim f

lim g

lim (f+g)

l

l’

l+l’

Forme indéterminée

l

 

¨        Limite d’un produit :

 

lim f

lim g

lim (f.g)

l

l’

l.l’

0

Forme indéterminée

 

¨        Limite d’un quotient :

 

lim f

lim g

lim (f/g)

l

l/l’

Forme indéterminée

l

0

0

0

Forme indéterminée

0

 

Exemples :

Remarques :

Lorsque la limite d’une fonction est de la forme , alors le résultat est . Pour savoir si c’est , on étudie le signe du dénominateur.

 

Exemple :

 

Limite d’une fonction irrationnelle :

o   Si  dans un intervalle ouvert contenant et  alors  

o   Si  alors

 

¨        Les formes indéterminées :

o    Limite d’un polynôme :

La limite d’une fonction polynôme quand x tend vers l’infini, est égale à la limite de son terme du plus haut degré.

 

              Exemple :

 

o    Limite d’une fonction rationnelle

La limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes du plus haut degré du numérateur et du dénominateur (quand x tend vers l’infini)

 

Exemple :

          

 

Levons l’indétermination :

         

Si la limite d’une fonction rationnelle en est de la forme , on met  en facteur et on simplifie

 

Exemple : 

 

 

o    Limite d’une fonction irrationnelle

Si la limite d’une fonction irrationnelle est de la forme, on lève l’indétermination en utilisant l’expression conjuguée..

Si elle est de la forme , on met les termes de plus hauts degrés en facteur

 

Exemples :

§ 

       

§