Analyse

 

Etude locale d'une fonction numérique

 

Durée: 1,5 semaine

Objectifs généraux : L'élève doit être capable de (d'):

  • Comprendre les notions de limite, de continuité et de dérivation en un point;
  • Maîtriser certaines méthodes et techniques de calcul de limite et de nombre dérivé.

 

0bjectifs spécifiques

Contenus

0bservations

L'élève doit être capable de (d'):

 

 

 

§         calculer la limite d'une fonction

en un point;

§         Limites:

§         On conviendra que dans

le cas où a appartient à

un intervalle de définition de

§         connaître les limites en + et en

0 des fonctions:

 

- limite d'une fonction en un

Point

 

- limite à gauche, limite

à droite

 

 

§         calculer la limite en un point

d'une somme, d'un Produit, d'un

quotient de fonctions;

- extension de la

notion de limite

 

§         calculer les limites à gauche et à droite d'une fonction rationnelle en un point où elle n'est pas

définie;

 

§         calculer les limites à l'infini des fonctions polynômes e t des fonctions rationnelles;

- théorèmes sur les limites en un point (admis)

 

 

 

§         étudier la continuité d'une fonction en un point;

§         Continuité:

 

§         On donnera des exemples de fonctions non continues (resp. non dérivables) en un point;(resp. On parlera de demi- tangente en un point d'une courbe).

 

§         Connaître et utiliser les

Théorèmes sur les fonctions continues en un point;

 

- continuité en un point

 

- continuité à droite, continuité à gauche

 

- théorèmes sur les fonctions continues en un point (admis)

 

 

§          Donner une approximation affine, au voisinage de 0, des fonctions qui à h associent (1+h) 2

 

§         Calculer le nombre dérivé, le nombre dérivé à gauche, le nombre dérivé à droite, en un point d’une fonction ;

§         Dérivabilité

 

§         Trouver l’équation cartésienne de la tangente (ou d’une demi- tangente) en un point de la courbe représentative d’une fonction donnée ;

- approximation locale d'une fonction par la fonction linéaire tangente

- fonction dérivable en un point, nombre dérivé

- nombre dérivé à droite, nombre dérivé à gauche

- interprétation géométrique du nombre dérivé; tangente en un point d'une courbe.

 

 

§         construire géométriquement la tangente en un point de la courbe d'une fonction connaissant le nombre dérivé en ce point.

§         On observera que, pour construire la tangente, il suffit de connaître son cœfficient  directeur f (a); le recours à l'équation cartésienne est inutile.

 

 

Instructions

§         Les limites seront introduites de manière intuitive.

§         On introduira le nombre dérivé comme limite du rapport lorsque x tend vers, I'interprétation graphique conduisant à la notion de tangente et de meilleure approximation affine.